“dx除以dt，在一滴滴的时间之内，走了一滴滴的路。然后单位是，按照上面单位，结果就变成了人的瞬时速度是里/时辰。”
“通过这个式子，我们是不是就可以求得，某个人在某一瞬间很短很短的时间之内，他的速度。”
“当然！自古以来，就有一个诡论，那就是假设把我们动的这个时间跟位置记录下来，画下来，而且我们假设它可以被画下来，那么，假如说每一瞬间，我们在画上都没有动过，那我们是怎么从一个地方移动到另一个地方的。”
“其实实际情况自然是，我们不可能在每一瞬间都没有动，我们还是会动的。”
“而接下来我们说的这个，就是为了解决这个问题，如下所示：”
图。
“这式子的意思就是，移动过的距离x（t）-x（a），除以时间变化t-a，得到速度。”
“可这个式子还不够完美，因为……”
“我们要想知道，我们在很短很短的时间，我们的速度，虽然我们已经有了上面这个式子，可问题是，这个很短很短的时间到底是多少。”
“有人说，很短很短的时间是眨一下眼的功夫，也有人不同意，说还要比这个时间小千分之一，万分之一，那么，我们该如何定义这个很短很短的时间，才能够让所有的人都信服。”
“那我们就可以让这个式子当中的t=a，t=a的意思，就是说，我让t就是a，这样大家面对这个很短很短的时间，就不会说，t-a到底是不是就是已经很短很短了。”
“因为我们让t=a，那就已经是变得不可再短了，是也不是？”
“但是在数术上，如果让t=a，我们没有办法把这个式子算出来。”
“上面是零，下面是零，零除以零等于多少？可我们还是想让这个式子能被算出来。”
“所以，在这里，我们再次引入一个新的符号，来表示我们接下来要做的事。”
图。
“我们就用这个形式写出来，表示我们接下来要做的事。”
“而且，我们将这个过程，称之为微分。”
“至于前面我们说的面积求和，则是积分。”
“那么问题来了，这两个东西加起来，合称‘微积分’，接下来要怎么用。”
“我们还是刚刚的例子，计算瞬时速度，也就是在一段很短很短时间的速度，这个速度是通过路程除以时间，微分得来的。”
“微分所记录的是每一个很短很短的时间，人所走过时的速度。”
“现在我假设，之前积分的图，这就是人在很短很短时间的速度的变化的坐标图。”
“现在我要求，人在某一段时间之内，也就是由a到b，他移动了多少路程，该怎么求？”
第四十六章 计算
应该说，微分和积分为什么互为逆运算，而且为什么通过反求导就能求出区域面积，这大概是在学习微积分的时候，很多人最难理解的一个点。
甚至曾经在很早之前，大家都把微分和积分看作是两个互不关联，毫不相关的东西去看待，直到后面出现了牛顿和莱布尼茨。
考虑到证明的过程是很难直观去理解的，所以李纵才举了这么一个或许并不太严谨，但却意外好懂的例子，把求积分的图，当成是瞬间速度变化的图。
然后求从a到b时间之内，到底走过了多少路程，这是不是就是反求导之后，用大写的F代表原函数，黄色区域的面积就等于F（b）-F（a）。
这正是计算积分十分重要的一个公式，将连续的需要求和的一条条铅垂线的过程，转变成了只需要代入边界的值，一减就能求出面积。
见两人还在犹豫，李纵也是把路程等于速度乘以时间，面积等于底边乘以高，两者都是乘法的这么一个过程写了出来，道：“其实我们不必纠结于为什么路程可以看成是面积。”
“我们只需要知道他们都同样是乘法运算，而且，都是函数关于一滴滴的单位之内，会得到某个值就行了。”
“而且，如果反过来理解，求积分的这个图，用微分去表述，就可以是，在一滴滴的时间之内，面积的变化率。”
见两人还在沉思，李纵便继续道：“那么，假设这种想法是对的，我们已经得知，这两种运算存在着一种互逆的关系，那么，我们可以怎么使用这种关系？”
“是不是就可以求积分了，积分原本是要把很多很多的铅垂线的面积加起来，正常来说，我们人是办不到的，但是如果能把它转换为微分时的原函数，积分是不是就可以计算了。”
“直接代入两个边界的点，一减，答案不就出来了。b点的里程，比如说15里，减去a点的里程，比如说10里，一减，中间的5里，就是我们走过的路程。”
“那么问题来了！这个积分的函数，跟它微分时的原函数，到底存在着一种什么样的关系。”
“或者说，我现在已经知道了积分的函数了，就是等于y=2x，那么，微分时的原函数，是什么？所以是不是就是一次从微分的结果，反推微分的开头的这么一个过程。”
“那接下来我们便尝试着拿一个例子，来求一次微分。”
“比如说原函数y=x2，根据刚刚微分的定义，是不是就可以有以下这个式子：”
图。
“此式子怎么理解，刚刚我们是用t-a的方式，但这样显然是算不出来的，所以我们把t换成x+Δx，代表t比a多了那么一滴滴增量，但是这个增量又是无限小，我们定义无限小不等于0，但是它无限趋近于0。”
“接下来便可以对式子进行运算。”
图。
“正如同前面我们说让t就是等于a，那么很短很短的时间，也就没有争议。这个的Δx，我们把他视为是没有增量，那么这条式子最后，微分出来，等于2x也就没有争议了。”
“当然，前提是，我们定义了无限小，是趋向于0。”
“这正好就是微分的结果跟原函数。”
“接下来，我们可以代入一些数字来测试一下。”
“首先明确，y=x2是路程关于时间的函数，y=2x是路程变化率，也就是速度关于时间的函数。”
“现在我要求y=2x在某一段时间内走过的路程，即这个函数在给定边界范围的面积。”
“就可以变成求出原函数，然后代入边界，最后y=12=1。”
“而反应在y=2x的这个与x、y边界所围成的面积，是不是也是，按照三角形的面积公式，底是1，高是2，1×2÷2=1，也等于1。”
“再代入别的数字，x=2，原函数答案是4，y=2x围成的面积是，2×4÷2=4，也等于4。”
“下面的以此类推，答案完全一样。”
“甚至就是算梯形的面积，其实也是一样的。”
李纵用一个很巧合的例子，来说明在给定边界后，的确可以通过原函数的式子来算出图形的面积。并且计算出来的面积是完全吻合的，这恰恰印证了前面李纵的假设。
虽说这只是个例，但是，此法足以让两人耳目一新。
三角形的面积原来还能这么算，这谁能想到！
然后李纵便道：“其实还有更为严格的证明过程，只是便于你们好理解，我也就拿这个作为例子。”
“假设这就是对的！”
“那么，以前我们是不是写了一条关于圆的方程的式子，是不是也有xy，而且当时我们还算出了边界，如果我没有记错的话，是b点的坐标是四分之一。”
“要是我们也能知道那条圆的方程的式子的原函数，是不是就能够通过直接代入四分之一，当然，起点是0，所以不用算，去算那个小区域S（ABD）的面积。”
两人听完，简直觉得李纵就是鬼才！
这都能让李纵想到！
但是……
接下来，等李纵把圆的方程式子写下来后，这个要怎么求原函数，却是把所有人都难倒了。
“这个式子，要怎么求原函数。”
“方才，我们是瞎猫碰上死耗子，正好通过微分，算出来是2x，那么接下来什么原函数的微分等于（x-x2），再开根号。”
张公绰两人立刻都傻眼了。
甚至，看完了这条式子，前面什么微分、积分好像都忘了，这就是所谓的，你看完，你觉得你自己懂了，其实，你什么都不懂。（图）
“这的确是一条相当复杂的式子，而且微分的过程虽说我们从头到尾都是知道的，但是我们却又不可能从后面往前推。”
“尤其还是这种又有减法，甚至还有开平方的式子。”
“这怎么办？”
“我们化简一下。”
“这就是结果。”
“然后我们先不管前面的x的二分之一方，我们就看后面的这个，（1-x）的二分之一方，是不是就跟我们之前提到的，那个f（m）的公式长得很像。”
“那我们是不是就可以把这个式子，按照f（m）的式子来展开。”
“最后得到。”
“我们再对这个式子求原函数。”
第四十七章 结果
经过李纵的一番操作，两个人已经完全看不懂了。
不过此时看不懂不重要，因为很快后面就会明白，李纵为什么要做这种变换了。
