隋唐五代史 (史仲文)

　　《缉古算经》全书二十问，第一问是有关天文历法的计算问题，可用算术解答。第二至十四问是立体问题，是以三次方程解答的问题。第十五至二十问是勾股问题，是以三或四次方程解答的问题。全书每问之后都有术文，说明方程各项系数的解法，在一些重要术文之后，都有王孝通的自注。注文一般是说明立术或建立方程的理论根据及运算过程。如书中第二问为："假令太史造仰观台，上广袤少，下广袤多。上下广差二丈，上下袤差四丈，上广袤差三丈，高多上广一十一丈。甲县差一千四百一十八人，乙县差三千二百二十二人，夏程人功常积七十五尺，限五日役台毕。羡道从台南面起，上广多下广一丈二尺，少袤一百四尺，高多袤四丈。甲县一十三乡，乙县四十三乡，每乡别均赋常积六千三百尺，限一日役羡道毕。二县差到人共造仰观台，二县乡人共造羡道，皆从先给甲县，以次与乙县。台自下基给高，道自初登给袤。问台道广、高、袤及县别给高、广、袤，各几何"。
　　关于仰观台和羡道的计算方法，王孝通给出四种计算方法。第一术是求仰观台高、广、袤术；第二术是均给积尺受广袤术；第三术是求羡道广、袤、高术；第四术是求羡道均给积尺，甲县受广、袤术。其中第二术术文为："以程功尺数乘乙县人，又以限日乘之，为乙积。三因之，又以高幂乘之，以上下广差乘袤差而一，为实。又以台高乘上广，广差而一，为上广之高。又以台高乘上袤，袤差而一，为上袤之高。又以上广之高乘上袤之高，三之为方法。又并二高，三之，二而一，为廉法，从。开立方除之，即乙高。以减本高，余，即甲高。此是从下给台甲高。又以广差乘乙高，如本高而一，所得，加上广，即甲上广。又以袤差乘乙高，如本高而一，所得，加上袤，即甲上袤。其甲上广、袤即乙下广、袤。台上广、袤即乙上广、袤。其后求广、袤，有增损者，皆放此"。术文之后，王孝通自注为："此应三因乙积，台高再乘，上下广差乘袤差而一。又以台高乘上广，广差而一，为上广之高。又以台高乘上袤，袤差而一，为上袤之高。以上广之高乘上袤之高为小幂二。乘下袤之高为中幂一。凡下袤、下广之高即是截高与上袤，上广之高相连并数。然此中幂定有小幂一，又有上广之高乘截高为幂一。又下广之高乘下袤之高为大幂二。乘上袤之高为中幂一。其大幂之中又有小幂一，复有上广、上袤之高各乘截高为幂各一，又截高自乘为幂一。其中幂之内有小幂一，又有上袤之高乘截高为幂一。然则截高自相乘为幂二，小幂六。又上广上袤之高各三以乘截高为幂六。令皆半之，故以三乘小幂。又上广上袤之高各三，今但半之，各得一又二分之一，故三之二而一。诸幂乘截高为积尺"。
　　根据术文，例为现代方程式，即为：333222 3Bhc a d bhac ahbd bhhac ahbd bh h x x x（　）（　）（　）－　－＝－　－＋－＋－＋·　·　·关于王孝通写作《缉古算经》的目的，他在《上缉古算术表》（约公元626　年）中称："伏寻《九章》商功篇有平地役功受袤之术，至于上宽、下狭，前高后卑，正经之内阙而不论。致使今代之人不达深理，就平正之间同欹邪之用。斯乃圆孔方枘，如何可安。臣昼思夜想，临书浩叹，恐一旦瞑目；将来莫睹，遂于平地之余，续狭斜之法，凡二十术，名曰《缉古》"。可以看出，王孝通是依据《九章算术》的算法，结合实际，创造性地编造了一些立方体积问题，用于解决一些土木工程的计算问题。他建立的三、四次方程及其解法，虽然依据几何的性质，只限于正解，但在我国古代数学发展史方面仍不失为辉煌的成就。就当时已有的数学水平而言，如何列出合乎题解需要的三次方程，是一个很困难的问题，直到宋元时期的"天元术"出现之后，这个问题才得到解决。
　　（三）二次内插法的建立公元206　年，刘洪在《乾象历》中首次提出一次内插法后，三国时期的杨伟，南北朝时期的何承天、祖冲之都是用一次内插法来计算日行度数。由于日、月视运动的不均匀性，用一次内插法所行的结果与实际误差很大。随着天文观测的进步，天文学家又发现了太阳视运动的不均匀性，因而要求有更精确的计算方法来推算日、月及五星运行度数。
　　公元600　年，隋代的天文学家刘焯在制定《皇极历》时，首先创立了等间距的二次内插公式，这是我国数学史和天文学史上的一个重大突破。刘洪应用的一次内插公式为：f（n＋s）＝f（n）＋s△［其中△是一级差分＝f（n＋1）－f（n）］。而刘焯的二次内插公式就比刘洪的一次内插公式精密的多。刘焯的二次内插公式为：f nl s f nlsls sls f nl f nlf nl l f nl（　）　（　）　（　）（　）　（　）［　，　（　）　（　），（　）　（　）］＋　＝　＋＋＋－　－　－＜　＜　＝　＋　－＝　＋　－　＋D DD D D DDD1 21 222 1 2221 20 1 1 12 1求太阳的视行度数时，l　是一节气的时间；求月行度数时，l　为一日的时间。利用这一公式计算所得到的历法精度大大提高。但是由于节气l　实际上不是按等间距变化，日、月、五星也不是作等加速运动，因此仍然存在缺点。为了提高历法的精确度，唐代著名天文学家僧一行在公元727　年，创立了不等间距的二次内插公式，不等间距二次内差公式为：f t s f t sl lsl lsl l l ll l s L（　）　（　）（　）（　）（　）（　，　）＋　＝　＋＋＋＋　－－＋－　1　＜D D D DD D1 21 2112221 211221 2当l1＝l2　时，和刘焯的等间距二次内插公式相同。一行较好地解决了与实际较大误差问题，利用这个公式编制的《大衍历》在推算日、月、五星运行度数方面比以前进了一大步，也使我国的天文历算大大走在世界的前列。晚唐时的徐昂在公元822　年制定《宣明历》时，所用的内插公式比一行的公式形式更为简单。
　　二次内插法的建立，标志着我国天文历算学进入一个新的里程。
　　（四）数学计算技术的改进这一时期数学的进步，还表现在计算技术的改进方面。
　　从李淳风等注释10　部算经（公元656　年）以后，到南宋秦九韶《数书九章》（1247　年）以前，这592　年中唐宋人的数学著作，现在都没有传本。只有一本韩延的算术书，因被冠于《夏侯阳算经》之名得以流传下来，从而保存了一些珍贵的史料。《韩延算书》约成书于公元774　年前后，全书3　卷共计83　个例题，除少部分例题和《五曹算经》、《孙子算经》相同外，其它都是结合当时的实际需要，为地方官吏和普通百姓提供适用的数学知识和计算技术。根据史料记载：这一时期的算学家，除已介绍的刘焯、王孝通、李淳风、僧一行等人外，还有陈从远、龙受益、边刚、刘孝孙等人。据《宋史·律历志》记载："唐试右千牛卫，胄曹参军陈从远著《得一算经》，其术以因折而成。取损益之道，且变而通之，皆合于数"。南宋王应麟《玉海》称："江本撰《三位乘除一位算法》二卷，又以一位因折进退，作《一位算术》九篇，颇为简约"。元代胡省三据《新唐书·历志》注《通鉴》称"刚（边刚）用算巧，能驰骋反覆于乘除间，由是简捷超径等接之术兴"。《新唐书·艺文志》记载："贞元人（公元785-804　年）龙受益《算法》二卷"。《宋史·艺文志》记录：龙受益著有《算法》二卷，《求一算术化零歌》一卷，《算范要诀》二卷。虽然这些著作都没有流传下来，我们无法确切知道它们的具体内容，但不难看出，这一时期实用算术有了很大发展，人们积极从事计算技术的改进，在简化筹算乘除的演算手续，减轻数字计算工作方面取得了很大成绩。
　　古代的筹算乘除法都要排列上、中、下三层算筹。乘法，列乘数于上、下层，乘积列于中层。除法列被除数于中层，除数于下层，商数列于上层。演算手续相当繁重。唐代劳动人民为了简化演算手续，想尽方法使乘除可以在一个横列里演算。在韩延算术中就有许多设法在一个横列里演算乘除的例子，如"课租庸调"章"求有闰年每丁（庸调）布二端（1　端＝5　丈）二丈二尺五寸法：置丁数七而七之，退一等，折半"。如果设该地区丁数是α，每丁应纳庸调布为2.45　端，α丁共纳端数为α×2.45，韩延算法采用α×7×7÷10÷2　代替α×2.45，就可以在一个横列里演算了。又如当时兴起的"得一算法"或叫"求一算法"，当乘数的第一位数码是1　时，用"加法"来代乘，除数的第一位数码是1　时，用"减法"来代除。对乘除的第一位数码不是1　时，把乘数或除数加倍或折半，使它的第一位数码变成1，同时对被乘数或被除数作相应的变化，然后用"加法"或"减法"代替乘或除，从而化简乘除的运算工作，并使之能在一个横列里演算。
　　除此之外，在十进小数的推广应用方面，也有了一定进展。古人记数，碰到整数以下的奇零部分，通常用分数表示。虽然，汉代的刘徽在他的《九章算术》少广章注中曾主张用一位或多位十进小数表示无理数平方根或立方根的奇零部分，但这个超时代的宝贵意见并没有被一般数学工作者采纳。而且它的推广应用还很迂回曲折和缓慢。唐中宗时，太史丞南宫说撰《神龙历法》（公元705　年），创用百进小数来记数据的奇零部分，以1　日为100"余"，1"余"为100"奇"。如"期周365　日，余24，奇48"就是一回归年为365.2448日。"月法29　日，余53，奇6"就是一朔望月为29.5306　日。唐代宗时，韩延算术将一文以下的钱币单位用十进位推广到分、厘、毫、丝、忽五位，这些都是明显的进步。